内水圧を受けるトーラスの応力解析

 


理論解

トーラス(トロイダル・シェル)とは,下図左に示すように,円環を中心軸(ここでは鉛直軸)の回りに回転させた,ドーナツ状の立体である.

fig_gpl_torus.png fig_torus1.png
トーラス外観均等内圧を受けるトーラス

下図右に示すように,均等内圧 p を受けるトーラスを考える.この場合,半径 a の円周方向軸力 $N_{\varphi}$ およびその軸方向軸力 $N_{\theta}$ は,Timoshenko (Theory of Plates and Shells) により,次式で与えられている.

\begin{equation*} N_{\varphi}=\cfrac{p a (r_0 + b)}{2 r_0} \qquad\qquad N_{\theta}=\cfrac{p a}{2} \end{equation*}

上式より,$N_{\varphi}$ は場所により変化するが,$N_{\theta}$ は,半径 a の円環上で均一な値をとることが分かる. ここで,代表点での$N_{\varphi}$を書き直してみると,

\begin{align*} &N_{\varphi}=p a \left\{1 + \cfrac{a}{2(b - a)}\right\} & (r_0 = b - a) \\ &N_{\varphi}=p a & (r_0 = b) \\ &N_{\varphi}=p a \left\{1 - \cfrac{a}{2(b + a)}\right\} & (r_0 = b + a) \end{align*}

となり,円環の内側,すなわち回転軸側 ($r_0 = b - a$) の円周方向応力が大きくなることがわかる. また,半径 a の円環の頂部と底部の円周方向応力は,通常の均等内水圧を受ける半径 a の直線円環の周方向軸力と同じ値となる.



軸対称FEMによる解析

以下に示すトーラスの発生応力を,軸対称FEM解析にて予測した.解析条件は以下のとおり.

E (MPa)pop (MPa)a (mm)b (mm)t (mm)
200,0000.31.02,0004,00010
要素数:360 (半径 a の円を中心角 1 度で分割)

軸対称FEMでは荷重は回転軸に対し 1 rad あたりの荷重を入力するようになっている.水圧についても例外ではなく,定義に忠実に荷重を作成・入力する必要があることに注意.

fig_torus2.png 解析結果を示す応力分布図は,円環左端から時計回りの角度を
横軸としてプロットしている.
fig_graph1.png fig_graph2.png
変位モード 応力分布

解析結果と Timoshenko の解との比較を下表に示す.

LocationFEMTimoshenko
(φ) σφσθσφσθ
0 (r=b+a)166.59 99.54166.66100.00
90 (r=b) 198.43105.62200.00100.00
180 (r=b-a)300.54 99.55300.00100.00
応力の単位は MPa


プログラム

FilenameDescription
f90_FEM_ASNT.txt軸対称FEMプログラム
f90_toroidal.txtトーラス解析入力データ作成プログラム
inp_toroidal.txt軸対称FEM入力データ
out_toroidal.txt軸対称FEM出力データ
gpl_torus.txtトーラス立体図作成用gnuplotスクリプト
a_gmt.txtトーラス説明図作成用GMTシェルスクリプト
a_gmt_gra.txtFEM計算結果図化用GMTシェルスクリプト

Fortranプログラムの実行方法は以下のとおり.

gfortran -o f90_toroidal f90_toroidal.f90
gfortran -o f90_FEM_ASNT f90_FEM_ASNT.f90

./f90_toroidal > inp_toroidal.txt
./f90_FEM_ASNT inp_toroidal.txt out_toroidal.csv


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