理論解
トーラス(トロイダル・シェル)とは,下図左に示すように,円環を中心軸(ここでは鉛直軸)の回りに回転させた,ドーナツ状の立体である.
トーラス外観 | 均等内圧を受けるトーラス |
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下図右に示すように,均等内圧 p を受けるトーラスを考える.この場合,半径 a の円周方向軸力 $N_{\varphi}$ およびその軸方向軸力 $N_{\theta}$ は,Timoshenko (Theory of Plates and Shells) により,次式で与えられている.
\begin{equation*}
N_{\varphi}=\cfrac{p a (r_0 + b)}{2 r_0} \qquad\qquad N_{\theta}=\cfrac{p a}{2}
\end{equation*}
上式より,$N_{\varphi}$ は場所により変化するが,$N_{\theta}$ は,半径 a の円環上で均一な値をとることが分かる. ここで,代表点での$N_{\varphi}$を書き直してみると,
\begin{align*}
&N_{\varphi}=p a \left\{1 + \cfrac{a}{2(b - a)}\right\} & (r_0 = b - a) \\
&N_{\varphi}=p a & (r_0 = b) \\
&N_{\varphi}=p a \left\{1 - \cfrac{a}{2(b + a)}\right\} & (r_0 = b + a)
\end{align*}
となり,円環の内側,すなわち回転軸側 ($r_0 = b - a$) の円周方向応力が大きくなることがわかる. また,半径 a の円環の頂部と底部の円周方向応力は,通常の均等内水圧を受ける半径 a の直線円環の周方向軸力と同じ値となる.
軸対称FEMによる解析
以下に示すトーラスの発生応力を,軸対称FEM解析にて予測した.解析条件は以下のとおり.
E (MPa) | po | p (MPa) | a (mm) | b (mm) | t (mm) |
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200,000 | 0.3 | 1.0 | 2,000 | 4,000 | 10 |
要素数:360 (半径 a の円を中心角 1 度で分割) |
軸対称FEMでは荷重は回転軸に対し 1 rad あたりの荷重を入力するようになっている.水圧についても例外ではなく,定義に忠実に荷重を作成・入力する必要があることに注意.
解析結果を示す応力分布図は,円環左端から時計回りの角度を 横軸としてプロットしている. |
変位モード | 応力分布 |
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解析結果と Timoshenko の解との比較を下表に示す.
Location | FEM | Timoshenko | ||
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(φ) | σφ | σθ | σφ | σθ |
0 (r=b+a) | 166.59 | 99.54 | 166.66 | 100.00 |
90 (r=b) | 198.43 | 105.62 | 200.00 | 100.00 |
180 (r=b-a) | 300.54 | 99.55 | 300.00 | 100.00 |
応力の単位は MPa |
プログラム
Filename | Description |
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f90_FEM_ASNT.txt | 軸対称FEMプログラム |
f90_toroidal.txt | トーラス解析入力データ作成プログラム |
inp_toroidal.txt | 軸対称FEM入力データ |
out_toroidal.txt | 軸対称FEM出力データ |
gpl_torus.txt | トーラス立体図作成用gnuplotスクリプト |
a_gmt.txt | トーラス説明図作成用GMTシェルスクリプト |
a_gmt_gra.txt | FEM計算結果図化用GMTシェルスクリプト |
Fortranプログラムの実行方法は以下のとおり.
gfortran -o f90_toroidal f90_toroidal.f90 gfortran -o f90_FEM_ASNT f90_FEM_ASNT.f90 ./f90_toroidal > inp_toroidal.txt ./f90_FEM_ASNT inp_toroidal.txt out_toroidal.csv