洪水吐の機能
洪水吐の流入部および導流部は，ダム設計洪水流量以下の流量を堤体の安全に支障なく流下させうる構造とする． また，堤体・下流の河床・河岸・河川管理施設等を保護するために流水のエネルギーを減殺する必要がある場合は減勢工を設ける．(ダム設計基準：第2章第2条)
流入部の設計
流入部の条件
放流能力を損なわないこと，および土砂流入防止を考慮し，流入部は以下の条件を満足することとする．(ダム設計基準：第2章第3条)
\begin{equation}
W/h\geqq 1/5 \qquad \qquad V\leqq 4~(m/s)
\end{equation}
ここに $W$ は越流頂以下の水深， $h$ は設計越流水深，$V$は接近流速である．
越流頂の形状
越流頂上流側形状は，USCE の標準越流頂の上流側形状を採用する(多目的ダムの建設~第4巻~設計II編，p257参照)．
越流頂下流側形状は，実績の多い放物線越流形状を採用する． この場合，放物線は導流部でダム下流面にすりつく必要があるため，越流頂を原点とした座標系に対し，下図の関係が成立する必要がある．
ここで，越流頂とダム軸を一致させれば，流入部のオーバーハングした構造物が減り施工上有利となるが，負圧や水脈剥離発生防止の観点から一致させることが困難な場合は，越流頂をダム軸上流側とすることにより対応する．
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\begin{align} &\text{越流頂曲線} &~&y=Kx^2 \\ &\text{堤体下流面} & &y=\dfrac{1}{n_0}x-a \\ &\text{交点座標} & &(x,y)=\left(\dfrac{1}{2Kn_0},\dfrac{1}{4Kn_0{}^2}\right) \\ &\text{$K$と$a$の関係}& &K=\dfrac{1}{4an_0{}^2} \end{align} |
| 越流頂上流側形状 | 越流部曲線と堤体下流面の関係 | |
|---|---|---|
| (Hd : 設計水頭) | ||
ゲートを有する越流頂でゲートを部分開放する場合，流れはオリフィス流となる． 越流面に沿っての負圧の発生を避けるためには，越流頂形状は，以下に示す傾斜オリフィスからの噴出ジェットの軌跡より緩勾配とする必要がある．
\begin{equation}
y=x\tan\theta+\frac{x^2}{4H_d\cos^2\theta}
\end{equation}
ここに $x$ はゲート下端を原点とした下流側への水平距離， $y$ はゲート下端位置水路床を原点とした鉛直下向き距離， $H_d$ は設計水頭， $\theta$ は鉛直面とオリフィスのなす角である． (ダムの計画と設計[米国内務省開拓局]：p237)
流量計算
流入部における流量は，以下の式 (石井・藤本の式) により算定する(土木学会，水理公式集-昭和60年度版-)．
\begin{align}
&Q=n\cdot C'\cdot B'\cdot H^{3/2} \\
&C'=C_d\cdot\left\{1-M_d\left(\frac{H}{H_d}\right)^{1.5}\right\} \\
&C_d=1.971+0.498\cdot\xi+6.63\cdot\xi^2 \\
&M_d=0.0756\left(\frac{H_d}{B'}\right)^{0.5}\cdot\left\{\frac{1}{n}+1.465\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\left(\frac{b}{S'}\right)^{1.7}\right\}
\end{align}
| $Q$ | ：流量 | $C_d$ | ：$H=H_d$における流量係数 | |
| $n$ | ：径間数 | $M_d$ | ：橋脚の影響の補正値 | |
| $C'$ | ：流量係数 | $\xi$ | ：$x/H_d=0.5$における$y/H_d$の値 | |
| $B'$ | ：1径間当たり径間幅 | $b$ | ：橋脚幅 | |
| $H$ | ：越流水頭 | $S'$ | ：堤頂から橋脚上流端までの水平長 | |
| $H_d$ | ：設計水頭 |
(注意)越流頂形状を放物線形状（ $y=Kx^2$ ）とすれば， $(y/H_d)=H_d K (x/H_d)^2 \quad (x/H_d=0.5)$ として $\xi$ の値を求められる．
導流部の設計
水面形の計算
導流部を，矩形一様断面の急勾配水路とした場合における不等流の基本方程式は，以下のとおりでる．(標準土木工学例題演習シリーズ1~水理学例題演習[コロナ社],昭和52年11月,p171)
\begin{equation}
\cfrac{dh}{dx}=\cfrac{\sin\theta-\cfrac{n^2 Q^2}{R^{4/3} A^2}}{\cos\theta-\cfrac{\alpha Q^2 B}{g A^3}}
\qquad\qquad A=B\cdot h
\qquad R=\frac{B\cdot h}{B+2 h} \label{eq:dou0}
\end{equation}
| $h$ | ：水路床直行方向水深 | $A$ | ：流水断面積 | |
| $x$ | ：水路床方向座標 | $R$ | ：径心 | |
| $\theta$ | ：水路床勾配 | $B$ | ：水路幅 | |
| $n$ | ：Manningの粗度係数 | $\alpha$ | ：補正係数 | |
| $Q$ | ：流量 | $g$ | ：重力加速度 |
また，矩形一様断面急勾配水路における限界水深 $h_c$ ，等流水深 $h_0$ は，下式で求められる．
\begin{align}
&\text{限界水深}&~&h_c=\left(\frac{\alpha Q^2}{g B^2 \cos\theta}\right)^{1/3} \\
&\text{等流水深(右式を満足する$h_0$)}&~&\sin\theta-\cfrac{n^2 Q^2}{R^{4/3} A^2}=0 \qquad A=B\cdot h_0, \quad R=\cfrac{B\cdot h_0}{B+2 h_0}
\end{align}
導流部の流れは射流であるため，限界水深を与える地点の水深を初期値として，数値積分により逐次下流側水深を求める． ただし，限界水深は越流頂より若干下流側で生じる． 限界水深となる位置は，越流頂から下流に向かって等流水深と限界水深を求め，これらの値が等しくなった地点としてこれを知ることができる．
なお，水面形は，一般的な不等流解析で用いられる次式により計算してもよい．次式では急勾配水路に適用できるよう水深の補正を行っていること，区間距離 $\Delta x$ は水路床に沿う向とすることに注意する．
\begin{equation}
\left(\cfrac{Q_1^2}{2g A_1^2}+ h1\cos\theta + z1\right) - \left(\cfrac{Q_2^2}{2g A_2^2}+ h2\cos\theta + z2\right) = \cfrac{1}{2}\left(\cfrac{n_1^2 Q_1^2}{R_1^{4/3} A_2^2}+\cfrac{n_2^2 Q_2^2}{R_2^{4/3} A_1^2}\right) \Delta x
\end{equation}
| $Q_1$ | 上流側流量 | $Q_2$ | 下流側流量 | |
| $h_1$ | 上流側水深(水路床直交方向) | $h_2$ | 下流側水深(水路床直交方向) | |
| $z_1$ | 上流側水路床標高 | $z_2$ | 下流側水路床標高 | |
| $A_1$ | 上流側通水断面積 | $A_2$ | 下流側通水断面積 | |
| $R_1$ | 上流側動水半径 | $R_2$ | 下流側動水半径 | |
| $\Delta x$ | 区間距離(水路床方向) | $n$ | Manning粗度係数 | |
| $g$ | 重力加速度 | $\theta$ | 水路床勾配 |
空気混入の考慮
なお，導流部は一般に高速流となるため，空気混入現象が十分に発達するものと考えなければならない．(ダム設計基準：第2章第8条)
このため，以下に示す，Gumensky の式により，空気混入による水面上昇量を補正する．(多目的ダムの建設~第4巻~設計II編~p268)
\begin{equation}
m=\frac{1}{200}\cdot\frac{v^2}{g\cdot h} \qquad h'=(1+m)\cdot h
\end{equation}
| $m$ | ：空気混入量と水量の比 | $h$ | ：空気混入を考慮しない水深(水路床直交方向) | |
| $v$ | ：平均流速 | $h'$ | ：空気混入を考慮した補正水深(水路床直交方向) | |
| $g$ | ：重力加速度 |
導流壁高さ
導流壁高さは，空気混入を考慮した水路床直交方向水深に対し，既設重力式ダムの実績を考慮して，水路床直交方向で 1m 程度の余裕をみた高さとする．
減勢工の設計
跳水式減勢工の設計
跳水式減勢工諸元は，以下の式により算定する．(多目的ダムの建設~第4巻~設計II編~p277$\sim$281)
\begin{align}
&v_1=0.9\sqrt{2gH} \\
&h_1=\frac{Q}{B\cdot v_1} \\
&F_r=\frac{v_1}{\sqrt{g h_1}} \\
&\frac{h_2}{h_1}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+8F_r^2}-1\right) \\
&\frac{d}{h_1}=\frac{(1+2F_r{}^2)\sqrt{1+8F_r{}^2}-1-5F_r{}^2}{1+4F_r{}^2-\sqrt{1+8F_r{}^2}}-\left(\frac{\sqrt{g}}{C}F_r\right)^{2/3} \\
&L=4.5h_2
\end{align}
| $H$ | ：貯水池と水叩き面の標高差 | $d$ | ：副ダム高 | |
| $v_1$ | ：水叩き流入流速 | $C$ | ：副ダム流量係数 | |
| $h_1$ | ：跳水前水深 | $L$ | ：水叩き長 | |
| $h_2$ | ：跳水後水深 | $B$ | ：減勢工幅 | |
| $F_r$ | ：フルード数 | $Q$ | ：流量 | |
| $g$ | ：重力加速度 |
水叩き長 $L$ については，水叩き始端部に補助構造物を設けることにより短縮が可能であるが，水理模型実験による確認が必要である．
跳水対応水深の算出
\begin{align}
&\text{運動量方程式} & &\rho\cdot g\cdot \left(\cfrac{h_2{}^2}{2}-\cfrac{h_1{}^2}{2}\right)=\rho\cdot q\cdot(v_1-v_2) \\
&\text{連続の式} & &q=v_1\cdot h_1=v_2\cdot h_2
\end{align}
上式より $v_1$ および $v_2$ を消去すると
\begin{equation}
\cfrac{q}{2}\cdot(h_2+h_1)=\cfrac{q^2}{h_1\cdot h_2}
\end{equation}
ここで跳水発生前のフルード数 $F_r=v_1/\sqrt{g h_1}$ を導入することにより，流量 $q$ は以下のとおり表現できる．
\begin{equation}
q=v_1\cdot h_1=h_1\cdot F_r\sqrt{g h_1}
\end{equation}
よって $h_2/h_1$ は，以下の2次方程式の解として計算できる．
\begin{equation}
\left(\cfrac{h_2}{h_1}\right)^2+\left(\cfrac{h_2}{h_1}\right)-2F_r{}^2=0
\quad\Rightarrow\quad
\cfrac{h_2}{h_1}=\cfrac{\sqrt{1+8 F_r{}^2}-1}{2}
\end{equation}
副ダム高の算出
副ダムを流下する流量 $q$ は，副ダム流量係数 $C$ ，跳水対応水深 $h_2$ ，副ダム高 $d$ ，跳水後流速 $v_2$を用いて以下のとおり表現できる．
\begin{equation}
q=C\cdot\Delta H^{3/2} \qquad \Delta H=h_2-d+\cfrac{v_2{}^2}{2g}
\end{equation}
上式において， $\Delta H$ には接近水頭 $\frac{v_2{}^2}{2g}$ を含んでいることに注意する． ここで，跳水前のフルード数 $F_r=v_1/\sqrt{g h_1}$ を用いれば， $q=h_1\cdot F_r\cdot\sqrt{g h_1}$ であることから， $\Delta H$ および接近水頭 $\frac{v_2{}^2}{2g}$ は以下のとおりとなる．
\begin{equation}
\Delta H=\left(\cfrac{\sqrt{g}}{C}F_r\right)^{2/3}\cdot h_1 \qquad\qquad
\cfrac{v_2{}^2}{2g}=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{h_1}{h_2}\right)^2\cdot F_r{}^2\cdot h_1
\end{equation}
これらの関係を用いることにより，副ダム高 $d$ は，以下の式で算出することができる．
\begin{equation}
\frac{d}{h_1}=\frac{(1+2F_r{}^2)\sqrt{1+8F_r{}^2}-1-5F_r{}^2}{1+4F_r{}^2-\sqrt{1+8F_r{}^2}}-\left(\frac{\sqrt{g}}{C}F_r\right)^{2/3}
\end{equation}
プログラム
| Filename | Description |
|---|---|
| f90_STEEP.txt | Runge-Kutta法による導流部水面形計算 |
| out.txt | 出力事例 |
| bat_gmt_steep.txt | 水面形作図用GMTコマンドバッチファイル |
| gpl_front.txt | 流入部上流側形状作図gnuplotスクリプト |
| z.txt | epsファイルをWeb用pngファイルに変換するImagemagickコマンド |
 |
| 水面形計算結果描画事例 |
|---|
