理論
格子桁理論による断面力算定
下図左に示すような,x-y平面上に配置された格子桁の断面力および変位を,有限要素法により算定する.
要素としては,上図右に示すように,1節点3自由度を有する2節点梁要素を用いる. 要素剛性方程式は,下に示すとおりである.
\begin{equation*}
\begin{Bmatrix} T_i \\ M_i \\ Q_i \\ T_j \\ M_j \\ Q_j \end{Bmatrix}
=\begin{bmatrix}
GJ/\ell & 0 & 0 & -GJ/\ell & 0 & 0 \\
0 & 4 EI/\ell & -6 EI/\ell^2 & 0 & 2 EI/\ell & 6 EI/\ell^2 \\
0 & -6 EI/\ell^2 & 12 EI/\ell^3 & 0 & -6 EI/\ell^2 & -12 EI/\ell^3 \\
-GJ/\ell & 0 & 0 & GJ/\ell & 0 & 0 \\
0 & 2 EI/\ell & -6 EI/\ell^2 & 0 & 4 EI/\ell & 6 EI/\ell^2 \\
0 & 6 EI/\ell^2 & -12 EI/\ell^3 & 0 & 6 EI/\ell^2 & 12 EI/\ell^3
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} \phi_i \\ \theta_i \\ w_i \\ \phi_j \\ \theta_j \\ w_j \end{Bmatrix}
\end{equation*}
$GJ$ | Torsional rigidity | $T$ | Torsional moment | $\phi$ | Rotation around x-axis | ||
$EI$ | Bending rigidity | $M$ | Bending moment | $\theta$ | Rotation around y-axis | ||
$\ell$ | Length of element | $Q$ | Shearing force | $w$ | Displacement in z-direction |
座標変換行列は,x-y平面上での変換のみであるため,平面骨組解析に用いているものと同一のものを用いる.
矩形充実断面のねじり定数
矩形充実断面のねじり定数 J は,次式により算定する.
\begin{equation*}
J=\cfrac{1}{3} b a^3 \left\{1-\cfrac{192}{\pi^5}\cfrac{a}{b}\sum_{n=1}^\infty\cfrac{1}{(2n-1)^5}\tanh\cfrac{(2n-1)\pi b}{2 a}\right\}
\qquad (b \geqq a)
\end{equation*}
下表は,$J = k \cdot a b^3$ として計算した $k$ の値である.計算には,以下に紹介するプログラム f90_CALJ を用いている.
b/a | k |
---|---|
1.0 | 0.1406 |
1.1 | 0.1540 |
1.2 | 0.1661 |
1.3 | 0.1771 |
1.4 | 0.1869 |
1.5 | 0.1958 |
1.6 | 0.2037 |
1.7 | 0.2109 |
1.8 | 0.2174 |
1.9 | 0.2233 |
2.0 | 0.2287 |
3.0 | 0.2633 |
4.0 | 0.2808 |
5.0 | 0.2913 |
6.0 | 0.2983 |
7.0 | 0.3033 |
8.0 | 0.3071 |
9.0 | 0.3100 |
10.0 | 0.3123 |
1000.0 | 0.3331 |
プログラム
Programs
Filename | Description |
---|---|
f90_FEM_LATTICE.txt | Program for Lattice Girder Analysis |
f90_CALJ.txt | Program for calculation of torsion constant |
Fortranプログラム実行用コマンド
上記リンクファイル sh_rcls.txt を参照.このスクリプトには GMT による結果表示グラフ作成スクリプトまで含まれています. プログラムの
gfortran -o f90_FEM_LATTICE f90_FEM_LATTICE.f90 ./f90_FEM_LATTICE inp_canti_1.txt out_canti_1.csv
./f90_FEM_LATTICE fnameR fnameW
f90_FEM_LATTICE | 実行プログラム |
fnameR | データ入力ファイル名 |
fnameW | 出力ファイル名 |
データファイル入力書式
材料の応力-ひずみ関係の単位は N/mm$^2$ で定義されているため,入力データの単位はこれに整合させる必要があることに注意.
strcom NODT NELT MATEL KOX KOY KOZ NF Em po AI AJ .... (1 ~ MATEL) Node-1 Node-2 matno qw .... (1 ~ NELT) x y .... (1 ~ NODT) nokx rdisx .... (1 ~ KOX) noky rdisy .... (1 ~ KOY) nokz rdisz .... (1 ~ KOZ) n Tn Mn Qn .... (1 ~ NF)
strcom | コメント | |||
NODT | 総節点数 | Em | 材料弾性係数 | |
NELT | 総要素数 | po | 材料ポアソン比 | |
MATEL | 材料種別数 | AI | 断面二次モーメント | |
KOX | x方向変位指定節点数 | AJ | ねじり定数 | |
KOY | y方向変位指定節点数 | matno | 材料種別番号 | |
KOZ | z方向変位指定節点数 | qw | 要素に作用する等分布荷重強度(単位長さあたり) | |
NF | 載荷節点数 | x, y | 節点座標 | |
nokx, rdisx | x方向変位指定節点番号と変位量 | |||
noky, rdisy | y方向変位指定節点番号と変位量 | |||
nokz, rdisz | z方向変位指定節点番号と変位量 | |||
n, Tn, Mn, Qn | 荷重指定節点番号とx,y,z方向荷重 |
- 等分布荷重 qw は全体座標系で Z 方向の荷重のみ入力する.
- 指定変位 rdisx, rdisy, rdisz および指定外力 Tn, Mn, Qn はいずれも全体座標系の X, Y, Z 方向に対応する荷重であることに注意する.
解析事例
入力データ,出力データの事例を以下に示します.
Filename | Description |
---|---|
inp_canti_1.txt | Input data sample (1) |
out_canti_1.csv | Output data sample (1) |
inp_canti_2.txt | Input data sample (2) |
out_canti_2.csv | Output data sample (2) |