格子桁解析

 


理論

格子桁理論による断面力算定

下図左に示すような,x-y平面上に配置された格子桁の断面力および変位を,有限要素法により算定する.

fig_ltc_1.png fig_ltc_2.png

要素としては,上図右に示すように,1節点3自由度を有する2節点梁要素を用いる. 要素剛性方程式は,下に示すとおりである.

\begin{equation*} \begin{Bmatrix} T_i \\ M_i \\ Q_i \\ T_j \\ M_j \\ Q_j \end{Bmatrix} =\begin{bmatrix} GJ/\ell & 0 & 0 & -GJ/\ell & 0 & 0 \\ 0 & 4 EI/\ell & -6 EI/\ell^2 & 0 & 2 EI/\ell & 6 EI/\ell^2 \\ 0 & -6 EI/\ell^2 & 12 EI/\ell^3 & 0 & -6 EI/\ell^2 & -12 EI/\ell^3 \\ -GJ/\ell & 0 & 0 & GJ/\ell & 0 & 0 \\ 0 & 2 EI/\ell & -6 EI/\ell^2 & 0 & 4 EI/\ell & 6 EI/\ell^2 \\ 0 & 6 EI/\ell^2 & -12 EI/\ell^3 & 0 & 6 EI/\ell^2 & 12 EI/\ell^3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \phi_i \\ \theta_i \\ w_i \\ \phi_j \\ \theta_j \\ w_j \end{Bmatrix} \end{equation*}
$GJ$ Torsional rigidity    $T$ Torsional moment    $\phi$ Rotation around x-axis
$EI$ Bending rigidity    $M$ Bending moment    $\theta$ Rotation around y-axis
$\ell$ Length of element     $Q$ Shearing force    $w$ Displacement in z-direction

座標変換行列は,x-y平面上での変換のみであるため,平面骨組解析に用いているものと同一のものを用いる.

矩形充実断面のねじり定数

矩形充実断面のねじり定数 J は,次式により算定する.

\begin{equation*} J=\cfrac{1}{3} b a^3 \left\{1-\cfrac{192}{\pi^5}\cfrac{a}{b}\sum_{n=1}^\infty\cfrac{1}{(2n-1)^5}\tanh\cfrac{(2n-1)\pi b}{2 a}\right\} \qquad (b \geqq a) \end{equation*}

下表は,$J = k \cdot a b^3$ として計算した $k$ の値である.計算には,以下に紹介するプログラム f90_CALJ を用いている.

b/ak
1.0 0.1406
1.1 0.1540
1.2 0.1661
1.3 0.1771
1.4 0.1869
1.5 0.1958
1.6 0.2037
1.7 0.2109
1.8 0.2174
1.9 0.2233
2.0 0.2287
3.0 0.2633
4.0 0.2808
5.0 0.2913
6.0 0.2983
7.0 0.3033
8.0 0.3071
9.0 0.3100
10.0 0.3123
1000.0 0.3331


プログラム

Programs

FilenameDescription
f90_FEM_LATTICE.txtProgram for Lattice Girder Analysis
f90_CALJ.txtProgram for calculation of torsion constant

Fortranプログラム実行用コマンド

上記リンクファイル sh_rcls.txt を参照.このスクリプトには GMT による結果表示グラフ作成スクリプトまで含まれています. プログラムの

gfortran -o f90_FEM_LATTICE f90_FEM_LATTICE.f90

./f90_FEM_LATTICE inp_canti_1.txt out_canti_1.csv
./f90_FEM_LATTICE fnameR  fnameW
f90_FEM_LATTICE 実行プログラム
fnameR データ入力ファイル名
fnameW 出力ファイル名

データファイル入力書式

材料の応力-ひずみ関係の単位は N/mm$^2$ で定義されているため,入力データの単位はこれに整合させる必要があることに注意.

strcom
NODT  NELT  MATEL  KOX  KOY  KOZ  NF
Em  po  AI  AJ
.... (1 ~ MATEL)
Node-1  Node-2  matno  qw
.... (1 ~ NELT)
x  y
.... (1 ~ NODT)
nokx  rdisx
.... (1 ~ KOX)
noky  rdisy
.... (1 ~ KOY)
nokz  rdisz
.... (1 ~ KOZ)
n  Tn  Mn  Qn
.... (1 ~ NF)
strcomコメント
NODT 総節点数    Em 材料弾性係数
NELT 総要素数 po 材料ポアソン比
MATEL 材料種別数 AI 断面二次モーメント
KOX x方向変位指定節点数 AJ ねじり定数
KOY y方向変位指定節点数 matno 材料種別番号
KOZ z方向変位指定節点数 qw 要素に作用する等分布荷重強度(単位長さあたり)
NF 載荷節点数 x, y 節点座標
nokx, rdisx x方向変位指定節点番号と変位量
noky, rdisy y方向変位指定節点番号と変位量
nokz, rdisz z方向変位指定節点番号と変位量
n, Tn, Mn, Qn荷重指定節点番号とx,y,z方向荷重
  • 等分布荷重 qw は全体座標系で Z 方向の荷重のみ入力する.
  • 指定変位 rdisx, rdisy, rdisz および指定外力 Tn, Mn, Qn はいずれも全体座標系の X, Y, Z 方向に対応する荷重であることに注意する.




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